#1:   Gesucht ist die Länge der Strecke V_Q = x so,

      dass die Fläche A_UVQR die Hälfte der Gesamtfläche ist.

 

                a + c  

#2:   A_SPQR ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯·b

                  2    

 

#3:   Für die Hälfte

      davon gilt deshalb:

 

                a + c  

#4:   A_UVQR ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯·b

                  4    

 

#5:   Andererseits lässt

      sich die Fläche A_UVQR

      auch als Differenz des

      Trapezes TVQR und des

      Dreiecks TUV darstellen:

 

                (c - z) + c  

#6:   A_TVQR ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·w

                     2       

 

               u·(c - z)

#7:   A_TUV ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                   2    

 

#8:   A_UVQR = A_TVQR - A_TUV

 

                z·(u - w) + c·(2·w - u)

#9:   A_UVQR = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                           2           

 

       a + c       z·(u - w) + c·(2·w - u)

#10:  ⎯⎯⎯⎯⎯·b = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

         4                    2           

 

#11:  Die Dreiecke TUV, VZQ und PWQ sind einander ähnlich.

      Deshalb gilt:

 

         u       z     z     d

#12:  ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯ ∧ ⎯ = ⎯

       c - z     w     w     b

 

#13:  Daraus ergibt sich:

 

           z·(c - z)         b·z

#14:  w = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∧ w = ⎯⎯⎯

               u              d 

 

#15:  Nun wird w = b·z/d in die erste Gleichung von #12 eingesetzt:

 

         u         z  

      ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯

#16:   c - z      b·z 

                 ⎯⎯⎯

                   d  

 

           d·(c - z)

#17:  u = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

               b    

 

#18:  Mit u, w und d=c-a kann die Gleichung #10 reduziert werden:

 

                 

                 

#19:   a + c     

      ⎯⎯⎯⎯⎯·b = …

         4       

 

#20:  Die Auflösung nach z ergibt:

 

                             2    2      

                     √2·b·√(a  + c )     

#21:  z1 ≔ c - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                     2            2    2 

                2·√(a  - 2·a·c + b  + c )

 

                         2    2          

                 √2·b·√(a  + c )         

#22:  z2 ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + c

                 2            2    2     

            2·√(a  - 2·a·c + b  + c )    

 

#23:  Da c > z gilt, wird mit z1 weitergerechnet.

 

#24:  Die Strecke P_Q hat die Länge e=sqrt(b^2 +d^2).

 

#25:  Im Dreieck PWQ gilt also:

 

       x     e

#26:  ⎯ = ⎯

       z     d

 

           e·z

#27:  x = ⎯⎯⎯

            d 

 

              2    2   

           √(b  + d )·z

#28:  x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                 d     

 

#29:  Mit d=c-a folgt

 

              2          2   

           √(b  + (c - a) )·z

#30:  x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                  c - a      

 

 

 

 

#31:  Das ergibt für z:

 

                  x·(c - a)       

      z = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

#32:          2            2    2 

           √(a  - 2·a·c + b  + c )

 

#33:  Das wird mit z1 aus Zeile #21 gleichgesetzt und nach x aufgelöst:

 

                        2    2                                  

                √2·b·√(a  + c )                 x·(c - a)       

#34:  c - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                2            2    2         2            2    2 

           2·√(a  - 2·a·c + b  + c )     √(a  - 2·a·c + b  + c )

 

                       2            2    2         2    2  

           √2·(√2·c·√(a  - 2·a·c + b  + c ) - b·√(a  + c ))

#35:  x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                               2·(c - a)                   

 

#36:  Das ist die Länge der Strecke VQ in Abhängigkeit von den Seiten

      a, b und c, wenn die Senkrechte im Punkte V das Grundstück

      halbieren soll.

 

#38:  ----------------------------------------

 

#39:  Es ist klar, dass die Strecke VQ keinesfalls immer die Hälfte der

      Strecke PQ sein wird.

#40:  Für welche Maße der Seiten a, b und c ist es aber die Hälfte?

 

#41:  Die Strecke P_Q hat die Länge:

 

             2    2

#42:  e = √(d  + b )

 

#43:  und d ist c-a:

 

                   2    2

#44:  e = √((c - a)  + b )

 

#45:  Wenn x aus #35 die Hälfte der Strecke sein soll, muss e = 2*x

      gelten:

                    

               2    2   

#46:  √((c - a)  + b ) =

                        

 

                       2            2    2         2    2  

           √2·(√2·c·√(a  - 2·a·c + b  + c ) - b·√(a  + c ))

        2·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                               2·(c - a)                   

 

#47:  Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, aber eine triviale

      ist: b=a+c !

 

#48:  Probe:

                             

               2          2   

#49:  √((c - a)  + (a + c) ) =

                               

 

                       2                  2    2               2    2  

           √2·(√2·c·√(a  - 2·a·c + (a + c)  + c ) - (a + c)·√(a  + c ))

        2·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

                                     2·(c - a)                         

 

            2    2          2    2

#50:  √2·√(a  + c ) = √2·√(a  + c )

 

#51:  Wenn also die Seite b die Summe der Seiten a und c ist, dann teilt

      die Senkrechte auf der Mitte der Seite P-Q das Flächenstück in

      zwei gleiche Teile.

 

#52:  Es gibt aber auch andere Seitenverhältnisse bei denen die

      Senkrechte auf der Seitenmitte das Flächenstück halbiert, man

      denke nur an Rechtecke.

 

#53:  Es gibt jedoch auch Seitenverhältnisse bei denen die Senkrechte

      auf der Hälfte der Seitenmitte das Flächenstück nicht halbiert.